Question

已知P為橢圓9x²+2y²=18上任意一點(diǎn)，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線段PQ上，且

PM

=2

MQ

，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且

OA

•

OB

＞

2

3

，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)出點(diǎn)P以及M的坐標(biāo)，求出

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(x0-x，-y)；再結(jié)合

PM

=2

MQ

，即可把點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來(lái)；最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出曲線E的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與曲線E的方程可得點(diǎn)A、B坐標(biāo)與m之間的關(guān)系；再結(jié)合

OA

•

OB

＞

2

3

，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍（注意須滿足直線一定與曲線E相交）．

解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓上一點(diǎn)，
則Q（x₀，0），M（x，y），

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(x0-x，-y)．
∵

PM

=2

MQ

，（1分）
∴

x-x0=2(x0-x) y-y0=-2y.

∴

x0=x y0=3y

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y）．（3分）
點(diǎn)P在橢圓上，代入橢圓方程得：9x²+18y²=18．
即曲線E的方程為x²+2y²=2．（5分）
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=x+m與9x²+18y²=18聯(lián)立

y=x+m x2+2y2=2.

去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
x1+x2=-

4m

3

，x1•x2=

2m2-2

3

．（7分）
由

OA

•

OB

＞

2

3

得x1•x2+y1•y2＞

2

3

．
 而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）•（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2×

2m2-2

3

+m(-

4m

3

)+m2=m2-

4

3

（10分）
∴m2-

4

3

＞

2

3

，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-

3

， -

2

)∪(

2

， 

3

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于：忘記直線一定與圓錐曲線相交這一限制條件，從而得到錯(cuò)誤結(jié)論．