Question

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求過點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；
（2）求直線到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在，.

試題分析：（1）首先由四面體的體積可以求出高.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824031228274620.png" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，所以以為同一頂點(diǎn)的三條棱構(gòu)造長方體，長方體的外接球即為過點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球，其直徑就是長方體的體對(duì)角線.
（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角. （3）首先假設(shè)存在，然后確定的位置，若能在上找到點(diǎn)使則說明這樣的點(diǎn)F存在.與是異面的兩條直線，我們通過轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化這相交的兩條直線的垂直問題.那么如何轉(zhuǎn)化？過作交GC于，則只要即可.這樣確定的位置容易得多了.
試題解析：（1）由四面體的體積為.∴.
以構(gòu)造長方體，外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線。
∴∴
∴                3分
（2）由
∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,
∴
由平面幾何知識(shí)可知： ，.設(shè)直線與平面所成角為
∴                      8分
（3）假設(shè)存在，過作交GC于，則必有.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824031227884652.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以，又.

∴當(dāng)時(shí)滿足條件                    12分