Question

下列說法中
①設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），動點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段；
②命題“每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是全稱命題，而且是真命題．
③離心率為

1

2

，長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0）．
其中正確的為

②④

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)動點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a，當(dāng)a＜6，動點(diǎn)P的軌跡不存在，當(dāng)a=6，動點(diǎn)P的軌跡為線段，當(dāng)a＞6，動點(diǎn)P的軌跡為橢圓，可判斷①的真假；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)，可分析②的真假；
根據(jù)離心率為

1

2

，長軸長為8，分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況分別求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷③的真假；
根據(jù)3＜k＜4，可分析出二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的圖象形狀及焦點(diǎn)位置，進(jìn)而判斷④的真假；

解答：解：①中，若a＜6，則動點(diǎn)P的軌跡不存在，故①錯誤；
形如y=a^x（a＞0，a≠1）的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且當(dāng)a＞1時為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時為減函數(shù)，故命題“每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是全稱命題，而且是真命題正確，故②正確；
離心率為

1

2

，長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

12

+

y2

16

=1，③錯誤；
若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1為雙曲線，則c²=（4-k）+（k-3）=1，此時c=1，且焦點(diǎn)在x軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0），故④正確
故答案為：②④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了圓錐曲線的定義，性質(zhì)及方程，考查了指數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)，熟練掌握圓錐曲線的定義，性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程是解答的關(guān)鍵．