Question

（Ⅰ）求以點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）分別為左右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，-）的雙曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），將點(diǎn)P（3，-2）的坐標(biāo)代入，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由于焦點(diǎn)坐標(biāo)可能以x軸上，也可能在y軸上，故應(yīng)分為兩種情況，結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，-）構(gòu)造方程，解方程可得雙曲線(xiàn)的方程．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2）
故
解得a²=36，b²=32
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（II）∵雙曲線(xiàn)的離心率為，
故雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，即a=b
若焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
將點(diǎn)P（4，-）代入得a²=6
故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
若焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
將點(diǎn)P（4，-）代入得a²=-6（舍去）
綜上雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查橢圓方程和雙曲線(xiàn)方程的求法，熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法過(guò)程是解答的關(guān)鍵．