Question

已知a，b，c∈R，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證a，b，c全是正數(shù)．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  此題的已知條件結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜（分別是a，b，c的和、兩兩乘積之和，以及積均為正數(shù)），而結(jié)論只是a，b，c的符號(hào)．求證的結(jié)論及對(duì)結(jié)論的否定的結(jié)構(gòu)都比較簡(jiǎn)單，因此可從對(duì)結(jié)論的否定的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，并推出矛盾，從而推證結(jié)論成立，即采用反證法． 證明：假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，則由abc > 0可知a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)．不失一般性，設(shè)a < 0，b < 0，c > 0． ∵ a + b + c > 0， ∴ c >－( a + b ) > 0． 兩邊同乘以負(fù)數(shù)a + b ，得c (a + b) < －( a + b )2 即ca + bc < －a2－2ab－b2 由此可得 ab + bc + ca < －a2－ab－b2 = －(a2 + ab + b2) < 0，與已知ab + bc + ca > 0矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故a，b，c全是正數(shù)． 評(píng)述  采用反證法證明不等式的關(guān)鍵步驟有兩個(gè)，一是提出與結(jié)論相反，即對(duì)結(jié)論的否定的假設(shè)；二是由假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行正確的推理，推出矛盾． 此命題的逆命題“若a，b，c全是正數(shù)，則a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”也是真命題，因此可得出“a，b，c全是正數(shù)的充要條件是a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”的結(jié)論．