Question

已知定義在R上的函數f（x）是偶函數，對x∈R，都有f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，且當x∈（0，1）時，f（x）=3^x-1，則f（log₃24）的值為（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  9

  8

• C、

  1

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由題意得f（x）為周期為3的周期函數，設-1＜x＜0，據函數的奇偶性及x∈（0，1）時的解析式求出當-1＜x＜0時，f（x）的解析式，求出答案即可．

解答： 解：∵f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，令x=

3

2

+x，
∴f（x+3）=f（-x），
∵函數f（x）是偶函數
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）為周期為3的周期函數，
設-1＜x＜0，則0＜-x＜1
∵當x∈（0，1）時，f（x）=3^x-1
∴f（-x）=3^-x-1
∵函數f（x）是偶函數
∴f（x）=3^-x-1，
∵2＜log₃24＜3，
∴2-3＜log₃24-3＜3-3，
∴-1＜log3

24

27

＜0．
∴f（log₃24）=f（log3

24

27

）=

27

24

-1=

1

8

．
故選：A．

點評：本題主要考查了抽象的函數的問題，函數的奇偶性和周期性，關鍵是求出f（x）的解析式，屬于中檔題．