Question

在三角形中，對任意λ都有，則△ABC形狀

1. A.
   銳角三角形
2. B.
   鈍角三角形
3. C.
   直角三角形
4. D.
   等腰三角形

Answer 1

C
分析：在三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，將≥?≥?c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²，整理成關于λ的二次不等式恒成立問題，利用△≤0結合正弦定理可得到sin²C≥1，從而可得答案．
解答：在△ABC中，設A，B，C的對邊分別為a，b，c，則=c，=b，==a，
∵對任意λ都有≥，
∴對任意λ都有≥，
即c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²對任意λ恒成立，
即λ²b²-2bccosA•λ+c²-a²≥0恒成立，
∵b²＞0，
∴△=4b²c²cos²A-4b²（c²-a²）≤0，
∴c²sin²A≥a²，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin²Csin²A≥sin²A，
∴sin²C≥1，又C為△ABC的內角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC為直角三角形．
故選C．
點評：本題考查三角形的形狀判斷，考查向量的數量積，考查二次不等式恒成立問題，考查正弦定理，考查分析轉化與綜合應用、解決問題的能力，屬于難題．