Question

設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)所有正整數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前二項(xiàng)；     
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)建立等式關(guān)系，然后對(duì)n分別取1和2，求出數(shù)列{a_n}的前二項(xiàng)；
（2）將

an+2

2

=

2Sn

平方得Sn=

(an+2)2

8

，然后利用已知S_n求a_n的方法進(jìn)行求解；
（3）b_n=a_n•（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2），（4n-2）3ⁿ是由等差數(shù)列4n-2與等比數(shù)列3ⁿ乘積構(gòu)成，利用錯(cuò)位相減法求和，最后求出b_n的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由題意可得

an+2

2

=

2Sn

∴

a1+2

2

=

2a1

解得a₁=2，
∴

a2+2

2

=

2(a1+a2)

解得a₂=6
（2）由

an+2

2

=

2Sn

得Sn=

(an+2)2

8

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
即可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=4
因此數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，故a_n=4n-2
（3）由b_n=a_n（3^n-1-1），得b_n=（4n-2）（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2）
記c_n=（4n-2）3ⁿ，其n項(xiàng)和為U_n，則由錯(cuò)位相減法得U_n=3（1-3ⁿ）+（2n-1）3ⁿ⁺¹+3=（2n-2）3ⁿ⁺¹+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-

n(2+4n-2)

2

=(2n-2)3n+1+6-2n2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差中項(xiàng)、等差數(shù)列的通項(xiàng)和錯(cuò)位相減法在求和中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．