【題目】如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．設(shè)∠DAB=θ（0＜θ＜ ），L為等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)．
（1）求周長(zhǎng)L與θ的函數(shù)解析式；
（2）試問(wèn)周長(zhǎng)L是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值，并指出此時(shí)θ的大��；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】
（1）解：連接BD，則∠ADB=90°，

∴AD=BC=4cosθ．

作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，

得AM=BN=ADcosθ=4cos2θ，

∴DC=AB﹣2AM=4﹣8cos2θ．

∴△ABC的周長(zhǎng)L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4﹣8cos2θ）=8+8cosθ﹣8cos2θ．


（2）解：令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．

則 ，

當(dāng)t= ，即 ， 時(shí)，L有最大值10．

∴當(dāng)θ=60°時(shí)，L存在最大值10


【解析】（1）由于AB是圓O的直徑，所以三角形ABD是直角三角形，連BD，過(guò)D作DE⊥AB于E，則由射影定理可知AD2=AEAB，從而可用腰長(zhǎng)表示上底長(zhǎng)，進(jìn)而可求梯形的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)上底長(zhǎng)，可確定函數(shù)的定義域；（2）令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．利用配方法可知函數(shù)函數(shù)在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，1）單調(diào)遞減，由此可求周長(zhǎng)y的最大值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣2x+3 （Ⅰ）若函數(shù) 的最小值為3，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意互不相同的x1 ， x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè){an}是公比q＞1的等比數(shù)列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的兩個(gè)根，則a2007+a2008= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．
（1）求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；
（2）假設(shè)這輛汽車在行駛該段路程前里程表的讀數(shù)是8018km，試求汽車在行駛這段路程時(shí)里程表讀數(shù)s（km）與時(shí)間t （h）的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.2]=1，[0.5]=0，則方程[x]﹣x=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】要得到函數(shù)y=log2（2x+1）的圖象，只需將y=1+log2x的圖象（ ）
A.向左移動(dòng) 個(gè)單位
B.向右移動(dòng) 個(gè)單位
C.向左移動(dòng)1個(gè)單位
D.向右移動(dòng)1個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】北京市為了緩解交通壓力，計(jì)劃在某路段實(shí)施“交通限行”，為調(diào)查公眾對(duì)該路段“交通限行”的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從經(jīng)過(guò)該路段的人員中隨機(jī)抽查了80人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理，制成表：

年齡（歲）

[15，30）

[30，45）

[45，60）

[60，75）

人數(shù)

24

26

16

14

贊成人數(shù)

12

14

x

3


（1）若經(jīng)過(guò)該路段的人員對(duì)“交通限行”的贊成率為0.40，求x的值；
（2）在（1）的條件下，若從年齡在[45，60），[60，75）內(nèi)的兩組贊成“交通限行”的人中在隨機(jī)選取2人進(jìn)行進(jìn)一步的采訪，求選中的2人中至少有1人來(lái)自[60，75）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局（如上海道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說(shuō)的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離（位移），而是實(shí)際路程（如圖）．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點(diǎn)間的“直角距離”為：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，寫出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”
為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)；（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
（2）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“直角距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，點(diǎn)A（1，3），B（1，1），C（3，3），求經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)確定的一個(gè)“圓”的方程，并畫出大致圖象；
（3）設(shè)P（x，y），集合B表示的是所有滿足D（PO）≤1的點(diǎn)P所組成的集合，
點(diǎn)集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，
求集合Q={（x，y）|x=x1+x2 ， y=y1+y2 ， （x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的區(qū)域的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列結(jié)論： ①已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（﹣1）=2，f（﹣3）=﹣1，則f（3）＜f（﹣1）；
②函數(shù)y=log （x2﹣2x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（﹣∞，0）；
③已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2 ， 則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2；
④若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．
則正確結(jié)論的序號(hào)是（請(qǐng)將所有正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）．

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