Question

設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

          

   

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）推測(cè)：的“上夾線”的方程為 

解析:

（Ⅰ）由得，                

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，， 

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；    

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，          

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；     

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

對(duì)任意x∈R，，

所以       

因此直線是曲線的“上夾線”．      

（Ⅱ）推測(cè)：的“上夾線”的方程為      

①先檢驗(yàn)直線與曲線相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：

設(shè)：

 ，令，得：（kZ）            

當(dāng)時(shí),

故：過曲線上的點(diǎn)(，)的切線方程為：

y－[]= [－()]，化簡(jiǎn)得：．

即直線與曲線相切且有無數(shù)個(gè)切點(diǎn)．    -

不妨設(shè)

②下面檢驗(yàn)g(x)F(x)

g(x)－F(x)=

直線是曲線的“上夾線”．