Question

已知曲線C：y²＝2x(y≥0)，A₁(x₁，y₁)，A₂(x₂，y₂)，…，A_n(x_n，y_n)，…是曲線C上的點(diǎn)，且滿足0<x₁<x₂<…<x_n<…，一列點(diǎn)B_i(a_i,0)(i＝1,2，…)在x軸上，且△B_i－1A_iB_i(B₀是坐標(biāo)原點(diǎn))是以A_i為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

(1)求A₁，B₁的坐標(biāo)；

(2)求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式；

(3)令b_i＝，c_i＝，是否存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

　(1)∵△B₀A₁B₁是以A₁為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴直線B₀A₁的方程為y＝x.

由得x₁＝y₁＝2，即點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為(2,2)，進(jìn)而得B₁(4,0)．

(2)根據(jù)△B_n－1A_nB_n和△B_nA_n＋1B_n＋1分別是以A_n和A_n＋1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可得

即x_n＋y_n＝x_n＋1－y_n＋1.(*)

∵A_n和A_n＋1均在曲線C：y²＝2x(y≥0)上，

∴數(shù)列{y_n}是以y₁＝2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

∴其通項(xiàng)公式為y_n＝2n(n∈N^*)．

當(dāng)n＝1時(shí)，b₁＝c₁不符合題意，當(dāng)n＝2時(shí)b₂<c₂符合題意，當(dāng)n＝3時(shí)，b₃<c₃，符合題意，猜想對(duì)于一切大于或等于2的自然數(shù)都有，(*)

觀察知，欲證(*)式成立，只需證明n≥2時(shí)，n＋1≤2ⁿ.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝3，右邊＝4，左邊<右邊；

②假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)，k＋1<2^k，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

左邊＝(k＋1)＋1<2^k＋1<2^k＋2^k＝2^k＋1＝右邊．

∴對(duì)于一切大于或等于2的正整數(shù)，都有n＋1<2ⁿ，

即成立．

綜上，滿足題意的n的最小值為2.