Question

已知雙曲線的離心率為，焦距為2c，且2a²=3c，雙曲線 上一點(diǎn)P滿足（F₁、F₂為左右焦點(diǎn)），則||•||=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線的離心率為，得到可得a=c，從而b=c，再根據(jù)2a²=3c，聯(lián)解關(guān)于a、c的式子，得到a=，b=1，c=2，從而得到雙曲線方程為．接下來(lái)根據(jù)雙曲線的定義，得到-=，結(jié)合，在三角形PF₁F₂中利用余弦定理，聯(lián)解關(guān)于•的等式，可得•=4．
解答：解：∵雙曲線的離心率為，
∴，可得a=c，從而b==c
又∵2a²=3c，即2（c）²=3c，
∴c=2，a=，b=1，可得雙曲線方程為
∵點(diǎn)P在雙曲線上，∴根據(jù)雙曲線的定義，得-=
因此（-）²=12，即²-2•+²=12…①
∵
∴cosP==
結(jié)合=2c=4，化簡(jiǎn)整理得：即²+²=20，代入①，可得•=4
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的向量的數(shù)量積，要求兩個(gè)向量模的積，著重考查了向量在幾何中的應(yīng)用與雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．