精英家教網(wǎng)如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過點B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點X，連接AX．求證：
AMAX
=cos∠BAC．
分析：設(shè)AX與⊙O相交于點A1，連接OB，OC，OA1．連接OX過點M，求得XB2=XM•XO．①；利用切割線定理求得XB2=XA1•XA．②；由①，②求證△XMA∽△XA1O，即可求證．
解答：精英家教網(wǎng)證明：設(shè)AX與⊙O相交于點A1，連接OB，OC，OA1．又M為BC的中點，
所以，連接OX，它過點M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB2=XM•XO．①
又由切割線定理得XB2=XA1•XA．②
由①，②得
XM
XA
=
XA 1
XO
，
∴△XMA∽△XA1O，
∴
AM
AX
=
OA 1
OX
=
OB
OX
．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴
AM
AX
=
OB
OX
=cos∠BAC．
點評：此題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、切線長定理、切割線定理等知識點，綜合性較強，有一定的難度，此題的關(guān)鍵是設(shè)AX與⊙O相交于點A1，連接OB，OC，OA1．又M為BC的中點，所以，連接OX，它過點M．然后利用切割線定理和相似三角形的性質(zhì)來求解的．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A1B1的中點．
（I）求異面直線AE與BF所成的角；
（II）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小
（III）求點A到平面BDF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，EFGH分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求證：HG||平面ABC
（2）請在平面ABD內(nèi)過點E做一條線段垂直于AC，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是邊長為2的正三角形，且DE=2AB=2，F(xiàn)是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求面ABC與面EDC所成的二面角的大小（只求其中銳角）；
（3）求BE與平面AFE所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F，

（1）求證：A1C⊥平面BDE；

（2）求A1B與平面BDE所成角的正弦值。

（3）設(shè)F是CC1上的動點(不包括端點C)，求證：△DBF是銳角三角形。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

 

 

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請在面ABD內(nèi)過點E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

 

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