Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，且f（-3）=-2，當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則給出下列命題：
①函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=2；      
②f（2011）=-2；
③函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上為減函數(shù)；      
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有4個根，
上述命題中的所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進(jìn)而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，我們易得函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞減，由此我們畫出函數(shù)的簡圖，然后對題目中的四個結(jié)論逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．

解答： 解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當(dāng)x=-2，可得f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），函數(shù)周期T=4，
又∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)
∴f（-2）=f（2）=0，
又由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞減
故函數(shù)f（x）的簡圖如下圖所示：

由圖可知：①x=2為圖象的一條對稱軸，①正確，
②f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=-2，②正確，
③函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上為增函數(shù)，③錯誤，
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有3個根，④錯誤，
故答案：①②．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知，判斷函數(shù)的性質(zhì)，并畫出函數(shù)的草圖，結(jié)合草圖分析題目中相關(guān)結(jié)論的正誤．