Question

某校從參加高三年級期末統(tǒng)考測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）估計這次測試數(shù)學成績的平均分和眾數(shù)；
（Ⅱ）假設在[90，100]段的學生的數(shù)學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數(shù)學成績的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分；
（II）求出兩個數(shù)恰好是兩個學生的數(shù)學成績的概率，確定隨機變量ξ的可能取值，求出相應的概率，可求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

解答：解：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．…（3分）
眾數(shù)的估計值為75．…（5分）
所以，估計這次考試的平均分是72分．                        …（6分）
（II）從95，96，97，98，99，100中抽2個數(shù)的全部可能的基本結果數(shù)是

C

2 6

=15，有15種結果，學生的成績在[90，100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4（人），
這兩個數(shù)恰好是兩個學生的數(shù)學成績的基本結果數(shù)是

C

2 4

=6，
∴兩個數(shù)恰好是兩個學生的數(shù)學成績的概率P=

6

15

=

2

5

        …（8分）
隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，則有P（ξ=k）=

C

k 3

(

2

5

)k(

3

5

)3-k（k=0，1，2，3）
∴變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

…（10分）
Eξ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

6

5

 …（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望，正確求概率是關鍵．