已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．
【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程，利用短軸的一個端點到下焦點F的距離是，離心率為，可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，設其方程代入橢圓方程，從而可表示△PAB面積，利用基本不等式，即可求得△PAB面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的焦點在y軸上，所以設橢圓C的方程是（a＞b＞0）．…（1分）
因為短軸的一個端點到下焦點F的距離是，離心率為
所以，c=1
所以b2=a2-c2=1
所以橢圓C的標準方程是                 …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，
設其方程為：y=kx-1，代入橢圓方程可得（2+k2）x2-2kx-1=0…（6分）
設A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=．…（7分）
所以△PAB面積S△PAB=|x1-x2|（x1，x2異號）．
所以S△PAB==≤…（12分）
當且僅當，即k=0時，S△PAB有最大值是
所以當k=0時，△PAB面積的最大值是…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，一個頂點的坐標是（0，1），離心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1、A2，點M是橢圓上異于A1、A2的任意一點，設直線MA1、MA2的斜率分別為kMA1、kMA2，證明kMA1•kMA2為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A1、A2的點，kMA1、kMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得kMA1•kMA2=
 
（只需直接填入結果即可，不必寫出推理過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為
2
2
，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是
2
．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1、A2，點M是橢圓上異于A1、A2的任意一點，設直線MA1、MA2的斜率分別為KMA1、KMA2，證明KMA1•KMA2為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A1、A2的點，KMA1、KMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
（只需直接填入結果即可，不必寫出推理過程）．

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