Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ．

Answer 1

分析：首先分析對(duì)于（1）已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程，考慮到求解導(dǎo)函數(shù)的方法，先求出交點(diǎn)，再根據(jù)切線相等求出a，最后由直線上一點(diǎn)及斜率求出直線方程即可．
對(duì)于（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ；首先解出h（x）的函數(shù)表達(dá)式，要求最值考慮到應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，先求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)h′（x），再分類討論當(dāng)a＞0和a≤0時(shí)的情況求出極小值即可．

解答：解（1）已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
則：f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點(diǎn)處有相同的切線，）
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²，e）切線的斜率為k=f′（e²）=

1

2e

^，
所以切線的方程為y-e=

1

2e

（x-e²）；
（2）由條件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

- 

a

x

=

x -2a

2x

，
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，解得x=4a²，
所以當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a²）上遞增．
所以x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，
且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)．
所以Φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）=

x

-alnx（x＞0），h（x）在（0，+∞）遞增，無(wú)最小值．
綜上知，h（x）的最小值Φ（a）的解析式為2a（1-ln2a）（a＞0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求區(qū)間極值的問題，這類綜合性的題考查學(xué)生對(duì)綜合知識(shí)的運(yùn)用，所以學(xué)生要熟練掌握函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)．