Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90^o．以AB為直徑的圓0交AC于點(diǎn)E點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連0D交圓0于點(diǎn)M
（I）求證：O，B，D，E四點(diǎn)共圓；
（II）求證：2DE²=DM·AC+DM·AB

Answer 1

證明：（1）連接BE，則BE⊥EC
又D是BC的中點(diǎn)
∴DE=BD
又∴OE=OB，OD=OD
∴△ODE≌△ODB
∴∠OBD=∠OED=90°
∴D，E，O，B四點(diǎn)共圓．
（2）延長(zhǎng)DO交圓于點(diǎn)H
∵DE²=DM·DH=DM·（DO+OH）=DM·DO+DM·OH
∴DE²=DM·（AC）+DM·（AB）
∴2DE²=DM·AC+DM·AB．
分析：（1）做出輔助線，首先證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，從而得到四邊形一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，即四點(diǎn)共圓．
（2）根據(jù)圓的切割線定理，寫出DE，DM，DH三者之間的關(guān)系，把DH寫成兩部分的和，然后變化成AC，整理系數(shù)得到結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等，考查四點(diǎn)共圓，考查圓的切割線定理，是一個(gè)平面幾何的綜合題目，解題時(shí)注意分析要證明的結(jié)論與條件之間的關(guān)系．