Question

（2012•大豐市一模）如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E．
（1）①求證：△ABE∽△ADB；
     ②若AE=2，ED=4，求⊙O的面積；
（2）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，若AC∥FD，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)等弧所對的圓周角相等，結(jié)合公共角，可得∠ABE=∠ADB且∠BAE=∠DAB，不難得到△ABE∽△ADB；
②由△ABE∽△ADB，可得AB²=AD×AE，代入數(shù)據(jù)可得AB²=12，結(jié)合BD為⊙O的直徑，可在Rt△ABD中，求出BD=4

3

，從而得到⊙O的半徑為2

3

，最后利用圓面積公式即得⊙O的面積．
（2）直線FA與⊙O相切．連接AO，利用平行線的內(nèi)錯角相等，得到∠C=∠CBD，從而弧AC=弧CD，再結(jié)合弧AB=弧AC，得到弧AC=

1

3

弧BAD，所以∠AOB=60°，得△ABO是等邊三角形．接下來不難在等腰△ABF中，算出∠F=∠FBA=30°，因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°，OA⊥FA，得到直線FA與⊙O相切．

解答：解：（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，
∴∠ABE=∠ADB，
又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；---（2分）
②∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，可得AB²=AD×AE
∵AE=2，ED=4，
∴AB²=AD×AE=6×2=12，可得AB=2

3

，
∵BD為⊙O的直徑，
∴Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=4

3

所以⊙O的半徑為R=2

3

，可得⊙O的面積為：S=πR²=12π（平方單位）-----（2分）
（2）直線FA與⊙O相切-----（1分），
 證明如下：連接AO
∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD
∴弧AC=弧CD，
∵弧AB=弧AC，得弧AC=

1

3

弧BAD
∴∠AOB=

1

3

×180°=60°，
可得△ABO是等邊三角形．
∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°
∵BF=BO=AB=

1

2

BD
∴∠F=∠FBA=30°
因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°
∴OA⊥FA，直線FA過半徑OA的外端且與半徑OA垂直，
∴直線FA與⊙O相切--------（3分）

點評：本題給出圓中弦相等的情況下，證明三角形相似，并且已知線段長度來求圓的面積，著重考查了相似三角形的判定和直線與圓的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．