Question

【題目】如圖, 與都是正三角形, , .

（Ⅰ）求證： ;

（Ⅱ）若,試求的值,使直線與所成角的正弦值為;

（Ⅲ）若,試寫出三棱錐與三棱錐的體積比.（不要求寫求解過程）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理，得平面，進(jìn)而得到平面；

（Ⅱ）以的方向為軸正方向,以的方向為軸正方向,以的方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量和向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可得到直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）利用三棱錐的體積公式，即可求解體積比．

試題解析：

（Ⅰ）證明:取的中點(diǎn),連接、

因為, , ,

所以,

所以,

因為, ,所以.

（Ⅱ）以的方向為軸正方向,以的方向為軸正方向,以的方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè),則點(diǎn), , , .

設(shè)為的法向量,且,

則,

又因為,

所以,令解得,

又因為

所以

解得,則

（Ⅲ）