Question

18．三角形ABC中，內角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，a+b=3c，則cosA•cosB•cosC的最大值為多少．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosC，將a+b=3c變形后代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，確定出cosC的范圍，原式利用積化和差公式變形，整理后設出f（C），根據cosC的范圍，利用二次函數性質求出最大值即可．

解答 解：∵a+b=3c，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{（a+b）^{2}}{9}}{2ab}$=$\frac{4（{a}^{2}+^{2}）-ab}{9ab}$≥$\frac{8ab-ab}{9ab}$=$\frac{7}{9}$，
∴cosA•cosB•cosC=$\frac{1}{2}$[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC≤$\frac{1}{2}$（1-cosC）cosC=f（C），
∵cosC∈[$\frac{7}{9}$，1），f（C）=-$\frac{1}{2}$（cosC-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$≤f（$\frac{7}{9}$）=$\frac{7}{81}$，
∴cosA•cosB•cosC的最大值為$\frac{7}{81}$．

點評 此題考查了余弦定理，基本不等式的運用，以及二次函數的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．