Question

設點P在橢圓

x2

4

+y²=1上，求P到直線x-2y+3

2

=0的距離的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值時點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設出與直線x-2y+3

2

=0平行的切線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由判別式等于0求得兩切線方程，由平行線間的距離公式求得橢圓上點P到直線x-2y+3

2

=0的距離的最大值和最小值，并通過求解方程得到P點坐標．

解答： 解：設與直線x-2y+3

2

=0平行的直線方程為x-2y+m=0，
聯(lián)立

x-2y+m=0 x2 4 +y2=1

，得2x²+2mx+m²-4=0．
由△=（2m）²-8（m²-4）=0，解得：m=±2

2

．
∴與直線x-2y+3

2

=0平行，且與橢圓

x2

4

+y²=1相切的切線方程為x-2y-2

2

=0或x-2y+2

2

=0．
當切線方程為x-2y-2

2

=0時，切點P到直線x-2y+3

2

=0的距離最大，為

|3 2 +2 2 |

12+(-2)2

=

10

．
由2x2-4

2

x+4=0，求得P（

2

，-

2

2

）；
當切線方程為x-2y+2

2

=0時，切點P到直線x-2y+3

2

=0的距離最小，為

|3 2 -2 2 |

12+(-2)2

=

10

5

．
由2x2+4

2

x+4=0，求得P（-

2

，

2

2

）．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了兩平行線間的距離公式的應用，是中檔題．