Question

已知函數(shù)f(x)=

x

，g（x）=alnxa∈R，
（I）若曲線(xiàn)y=f（x）與y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，求a值及在該點(diǎn)處切線(xiàn)方程．
（II）設(shè)h(x)=

x

-alnx當(dāng)h（x）≥0恒成立時(shí)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
則：f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=g（x）在交點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，）
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²，e）切線(xiàn)的斜率為k=f′（e²）=

1

2e

，
所以切線(xiàn)的方程為y-e=

1

2e

（x-e₂）；
（II）由條件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

- 

a

x

=

x -2a

2x

，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，解得x=4a²，
所以當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a²）上遞增．
所以x＞4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，
且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)．
所以Φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）=（1/2-2a）/2x＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，無(wú)最小值．
故h（x）的最小值Φ（a）的解析式為2a（1-ln2a）（a＞o）．
解不等式2a（1-ln2a）≥0得0＜a≤

e

2

．
即為實(shí)數(shù)a的取值范圍．