Question

平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（Ⅱ）設(shè)直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)，求△NCD面積取得最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由，可得方程，化簡即得點(diǎn)M的軌跡E的方程，從而可得E的曲線類型；
（Ⅱ）（1）由于|AC|=|BD|，所以CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，先求AB的中點(diǎn)為，再將l：y=kx+m與（Ⅰ）中方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求k的值；
（2）利用弦長公式求CD長，再求點(diǎn)N到CD的距離，從而可表示出面積，利用基本不等式求△NCD面積的最大值，從而求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），∵，∴，
即
動點(diǎn)M的軌跡E是中心在原點(diǎn)，半長軸為2，焦點(diǎn)為（）的橢圓（除去長軸兩個端點(diǎn)．）它的方程是．
（Ⅱ）（1）在，AB的中點(diǎn)為
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，∵|AC|=|BD|，∴CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn)，即，∵k＞0，∴
點(diǎn)N到CD的距離，=
當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²時等號成立，即，此時△＞0，
所以直線的方程為．
點(diǎn)評：本題主要考查曲線的軌跡方程與軌跡，應(yīng)注意區(qū)分軌跡方程與軌跡，把不滿足條件的點(diǎn)舍去．對于直線與曲線的位置關(guān)系問題，通常利用聯(lián)立方程組的方法，一般要借助于根與系數(shù)的關(guān)系求解．