已知△ABC中，
AB
=(-
3
sinx，sinx)，
AC
=(sinx，cosx)
（1）設(shè)f(x)=
AB
•
AC
，若f（A）=0，求角A的值；
（2）若對任意的實數(shù)t，恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面積的最大值．
分析：（1）利用數(shù)量積公式求得f（x）=sin(2x+
π
3
)-
3
2
，再由 f（A）=0求得sin(2A+
π
3
)=
3
2
，故有A=
π
6
．
（2）由 |
AB
-t
AC
|≥|
BC
| 可得BC⊥AC，再由|
AB
|=
4sin2x
≤2，|
AC
|=1，求得BC≤
3
，由此根據(jù)△ABC面積S = 
1
2
 BC •AC求得它的最大值．
解答：解：（1）∵f(x)=
AB
•
AC
=-
3
sin2x+sinxcosx=-
3
1-cos2x
2
+
sin2x
2
=sin(2x+
π
3
)-
3
2
 
∵f（A）=0=sin(2A+
π
3
)=
3
2
，且2A+
π
3
∈(
π
3
，2π+
π
3
)，∴A=
π
6
．（7分）
（2）∵|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，故點B到直線AC的最短距離為BC，∴BC⊥AC．
∵|
AB
|=
4sin2x
≤2，|
AC
|=1，∴由勾股定理可得 BC=
AB2-AC2
≤
4-1
=
3
，
故△ABC面積S = 
1
2
 BC •AC ≤
3
2
，
故△ABC面積的最大值為
3
2
．（14分）
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=3
2
，則△ABC的面積為
6
6
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•遼寧）選修4-1：幾何證明講
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧
AC
上的點（不與點A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+
3
，求△ABC外接圓的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連一模）已知△ABC中，AB=2，AC=
3
，∠B=60°，則∠A的度數(shù)為
30°
30°
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義平面向量的正弦積為
a
•
b
=|
a
||
b
|sin2θ，（其中θ為
a
、
b
的夾角），已知△ABC中，
AB
•
BC
=
BC
•
CA
，則此三角形一定是（　�。�
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、銳角三角形
D、鈍角三角形

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案