Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的范圍．
（3）求證：函數(shù)f（x）的零點x₁，x₂至少有一個在區(qū)間（0，2）內(nèi)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，
將|x₁-x₂|變形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由題意知，式子無最大值．
（3）分c＞0時和c≤0兩種情況，判斷函數(shù)值在區(qū)間端點處的函數(shù)值的符號，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理
得出結(jié)論．
解答：解：（1）證明：∵，∴3a+2b+2c=0，∴．
∴，=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根．
∴．
∴．
故|x₁-x₂|的范圍是[，+∞）．
（3）根據(jù)f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）當(dāng)c＞0時，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，
故在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．
（ii）當(dāng)c≤0時，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．
點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點就是函數(shù)f（x）=0的根；零點的判定方法是，函數(shù)在區(qū)間
端點的函數(shù)值異號，屬于中檔題．