Question

已知

a

=（m-2）

i

+2

j

，

b

=

i

+（m+1）

j

（其中

i

、

j

分別為x、y軸正方向的單位向量）
（1）若m=2，求

a

、

b

的夾角；
（2）若（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,數(shù)量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應用

分析：（1）當m=2時可得

a

=（0，2），

b

=（1，3），由夾角公式和反三角函數(shù)可得；
（2）由題意易得

a

+

b

=（m-1，m+3），

a

-

b

=（m-3，1-m），由垂直可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，解m的方程可得．

解答： 解：（1）當m=2時，

a

=（0，2），

b

=（1，3），
設(shè)

a

、

b

的夾角為θ，
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

6

2 10

=

3 10

10

，
∴θ=arccos

3 10

10

；
（2）∵

a

=（m-2，2），

b

=（1，m+1），
∴

a

+

b

=（m-1，m+3），

a

-

b

=（m-3，1-m），
由（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，
代入數(shù)據(jù)可得（m-1）（m-3）+（m+3）（1-m）=0，
解得m=1

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系，涉及向量的夾角和反三角函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．