Question

（2009•臺州二模）已知向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=1，|

a

-

b

|=|

b

|，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0．若對每一確定的

b

，|

c

|的最大值和最小值分別為m，n，則對任意

b

，m-n的最小值是（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．1

Answer 1

分析：法一：可以先把向量

a

，

b

，

c

放入平面直角坐標系，則

α

=（x₁，0），

b

=（

1

2

，y₁），再用

α

，

b

的坐標表示

c

的坐標，利用(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，可轉(zhuǎn)化為含y₁的式子，再看y₁等于多少時，m-n有最小值即可．
法二：我們分別令 |

α

|=1，

OB

=

b

，

OC

=

c

，根據(jù)由已知中，向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=1，|

a

-

b

|=|

b

|，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0．可判斷出A，B，C三點的位置關(guān)系，及m-n的幾何意義，進而得到答案．

解答：解：法一：把

α

放入平面直角坐標系，使

α

起點與坐標原點重合，方向與x軸正方向一致，則

α

=（1，0）
設

β

=（x₁，y₁），∵|

α

-

β

|=|

β

|，∴x1=

1

2

，∴

β

=（

1

2

，y₁）
設

γ

=（x，y），則

α

-

γ

=（1-x，-y），

β

-

γ

=（

1

2

-x，y₁-y）
∵（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=0．∴（1-x）（

1

2

-x）-y（y₁-y）=0
化簡得，x²+y²-

3

2

x-y₁y+

1

2

=0，也即 (x-

3

4

)2+(y-

y1

2

)2=

y12+ 1 4

2

點（x，y）可表示圓心在（

3

4

，

y1

2

），半徑為

y12+ 1 4

2

的圓上的點，
|

γ

|=

x2+y2

，∴|

γ

|最大m=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

，最小值n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

．
∴m-n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

-（

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

）=

y12+ 1 4

當y₁²=0時，m-n有最小值為

1

2

，
法二：解：∵|

α

|=1，
∴令

OA

=

α

則A必在單位圓上，
又∵又向量

β

滿足 |

α

-

β

|=|

β

|，
∴令

OB

=

β

則點B必在線段OA的中垂線上，

OC

=

γ

．
又∵(

α

-

γ

)•(

β

-

γ

)=0
故C點在以線段AB為直徑的圓M上，任取一點C，記

OC

=

γ

．
故m-n就是圓M的直徑|AB|
顯然，當點B在線段OA的中點時，（m-n）取最小值

1

2

即（m-n）_min=

1

2

故選B．

點評：本題考查的知識點是兩向量的和與差的模的最值，及向量加減法的幾何意義，其中根據(jù)已知條件，判斷出A，B，C三點的位置關(guān)系，及m-n的幾何意義，是解答本題的關(guān)鍵．