Question

設函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R），g（x）=

x2

2

．
（Ⅰ）當a=b=0時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程y=h（x）；并證明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；
（Ⅱ）當b=-1時，若f（x）≥g（x）對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

（e 

1

k

^+ln2-2g（

1

k

））＞2n+2ln（n+1）（n∈N₊）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函數(shù)解析式，求y=f（x）在點（0，f（0））處的導數(shù)，得到切線方程y=h（x）然后構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），利用導數(shù)求其最小值為F（0），則結(jié)論即可證明；
（Ⅱ）當b=-1時，f（x）≥g（x）等價于ex+ax-1≥

x2

2

，構(gòu)造函數(shù)G（x）=ex-

x2

2

+ax-1，求其導函數(shù)，分a≥-1和a＜-1討論，討論可知a≥-1時f（x）≥g（x）對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜-1時不合題意；
（Ⅲ）把要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證

n

k=1

(e

1

k

-

1

2

1

k2

)＞n+ln(1+n)，然后結(jié)合（Ⅱ）與（Ⅰ）中的結(jié)論采用換元的辦法證得

n

k=1

(e

1

k

-

1

2

1

k2

)＞n+ln(1+n)，故

n

i=1

（e 

1

k

^+ln2-2g（

1

k

））＞2n+2ln（n+1）（n∈N₊）．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0，b=0時，f（x）=e^x，f′（x）=e^x，
∴f′（0）=1，f（0）=1，
∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y-1=1（x-0），
即：y=h（x）=x+1；
證明：令F（x）=f（x）-h（x）=e^x-x-1，
∴F′（x）=e^x-1≥0，
∴F（x）=e^x-x-1單調(diào)遞增，又F（0）=0，
∴F（x）≥F（0），即e^x≥x+1（x≥0）恒成立；
（Ⅱ）當b=-1時，f（x）≥g（x）等價于ex+ax-1≥

x2

2

，
令G（x）=ex-

x2

2

+ax-1，
∴G′（x）=e^x-x+a，
當a≥-1時，由（1）知G′（x）=e^x-x+a≥e^x-x-1≥0，
∴G（x）=ex-

x2

2

+ax-1單調(diào)遞增，
又G（0）=0，
∴ex+ax-1≥

x2

2

．
當a＜-1時，G^′′（x）=e^x-1＞0，
∴G′（x）=e^x-x+a單增，
又G′（0）=1+a＜0，
∴存在x₀∈[0，+∞），使G′（x₀）=0，即ex0=x0-a，
∴G（x）在（0，x₀）上單減，在（x₀，+∞）上單增，
又∵G（0）=0，
∴x∈（0，x₀）時，G（x）＜0不合題意，故a≥-1；
（Ⅲ）要證：

n

i=1

（e 

1

k

^+ln2-2g（

1

k

））＞2n+2ln（n+1），
即證2(

n

k=1

e

1

k

-

n

k=1

g(

1

k

))＞2n+2ln(1+n)，
也就是

n

k=1

(e

1

k

-

1

2

1

k2

)＞n+ln(1+n)．
由（Ⅱ），令a=-1可知：ex≥

x2

2

+1+x，
令x=

1

k

(k∈N*)，
則e

1

k

≥1+

1

k

+

1

2

•

1

k2

，
∴

n

k=1

e

1

k

≥n+

n

k=1

1

k

+

1

2

n

k=1

1

k2

，
又由（Ⅰ）可知：e^x＞1+x（x＞0），
∴x＞ln（1+x），
令x=

1

k

，k∈N*，
∴

1

k

＞ln(1+

1

k

)，
∴

n

k=1

1

k

＞

n

k=1

ln(1+

1

k

)=ln(1+n)，
∴

n

k=1

e

1

k

＞n+ln(1+n)+

n

k=1

1

2k2

，
即

n

k=1

(e

1

k

-

1

2

1

k2

)＞n+ln(1+n)，
故

n

i=1

（e 

1

k

^+ln2-2g（

1

k

））＞2n+2ln（n+1）（n∈N₊）．

點評：本題考查了利用導數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論、數(shù)學轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，綜合考查了學生的推理運算，邏輯思維等能力，是難度較大的題目．