Question

已知數(shù)列{a_n^}滿(mǎn)足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由；求數(shù)列a_n通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）直接把n=3，2，1代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₄=81，即可求出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）先假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出實(shí)數(shù)λ，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₄=2a₃+2⁴-1=81?a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ=-1，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列（8分）
由（2）知數(shù)列{

an+λ

2n

}的公差d=1，∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)•1=n+1
得a_n=（n+1）•2ⁿ+1（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等差關(guān)系的確定．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于由數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)λ的值．