Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-，1），求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）如果函數(shù)g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到不等式的解集，得到相應(yīng)方程的兩個根，將根代入，求出a的值．
（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，則g′（x）＜0在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx-x-恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-，1），
∴g′（x）=3x²+2ax-1由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-，1．
將x=1或-代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（2）∵函數(shù)g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，
∴g′（x）=3x²+2ax-1＜0在區(qū)間上恒成立
即g′（-）=3（-）²+2a（-）-1≤0，且g′（）=3（）²+2a（）-1≤0，
解得-1≤a≤
（3）g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-x-恒成立 ①（9分）
設(shè)h（x）=lnx-x-，則h′（x）=-+=-
令h′（x）=0得：x=1，x=-（舍去）
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時，h'（x）＜0
∴當(dāng)x=1時，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．這類題目是高考的常考題．