Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：若a＜5，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知定義域為大于0的數(shù)，求出f′（x）討論當a-1=1時導函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；當a-1＜1時分類討論函數(shù)的增減性；當a-1＞1時討論函數(shù)的增減性．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+x，求出導函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍得到導函數(shù)一定大于0，則g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則利用當x₁＞x₂＞0時有g(shù)（x₁）-g（x₂）＞0即可得證．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

（i）若a-1=1即a=2，則f′(x)=

(x-1)2

x

故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；
當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）單調(diào)減，
在（0，a-1），（1，+∞）單調(diào)增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)減，
在（0，1），（a-1，+∞）單調(diào)增．
（2）考慮函數(shù)g（x）=f（x）+x=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx+x
則g′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

≥2

x• a-1 x

-(a-1)=1-(

a-1

-1)2
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）單調(diào)增加，
從而當x₁＞x₂＞0時有g(shù)（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1，
當0＜x₁＜x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及基本不等式證明的能力．