Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
（1）求證：數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}都是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}前2n項的和T_2n．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可得

an+2

an

=

1

2

，根據(jù)等比數(shù)列的定義判定出數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）利用等比數(shù)列的求和公式求得答案．

解答： （1）證明：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴

an+2

an

=

1

2

，
∴數(shù)列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）解：T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3（1-

1

2n

）．

點評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的求和問題．解題的關(guān)鍵是對等比數(shù)列基礎(chǔ)知識點的熟練掌握．