Question

已知關(guān)于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有兩個(gè)正根的充要條件
（Ⅱ）方程至少有一個(gè)正根的充要條件．

Answer 1

首先方程有二實(shí)根的充要條件是：

1-a≠0   △=(a+2)2+16(1-a)≥0

解之得：a≥10或a≤2且a≠1
設(shè)方程的二實(shí)根為x₁，x₂，則x1+x2=

a+2

a-1

，x1x2=

4

a-1

（Ⅰ）x₁，x₂均為正根?

a≠1       a≤2或a≥10       x1+x2= a+2 a-1 ＞0       x1x2= 4 a-1 ＞0

解之得：1＜a≤2或a≥10
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥10或1＜a≤2時(shí)，方程有兩個(gè)正根
②方程有一正根，一負(fù)根?

a≠1     a＜2或a＞10     x1x2= 4 a-1 ＜0

解得：a＜1
③當(dāng)a=1時(shí)，方程化為3x-4=0，有一個(gè)正根x=

4

3

綜合①②③得，方程至少有一個(gè)正根的充要條件是q≤2或q≥10