Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AC、BD相交于點O，AB=BC=2，AA₁=4，∠ABC=60°．
（1）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）求A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先利用直線與平面垂直的性質(zhì)證明出AA₁⊥BD，在由平行四邊形ABCD中的已知條件推導(dǎo)出AC⊥BD，由此能夠證明BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）連結(jié)A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影是A₁O，從而得到A₁B與平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，由此能求出A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答：（1）證明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
平行四邊形ABCD中，
∵AB=BC，∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）連結(jié)A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影是A₁O，
則A₁B與平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，
∵在平行四邊形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴BO=

3

，
∵AA₁=4，AB=2，∴A1B=2

5

，
∴在Rt△A₁OB中，sin∠BA₁O=

BO

A1B

=

3

2 5

=

15

10

．
∴A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值是

15

10

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．