設函數(shù)f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中a>0.b,c∈R.
(1)計算f′(
1
3
);
(2)若x=
1
3
為函數(shù)f(x)的一個極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設M表示f′(0)與f′(1)兩個數(shù)中的最大值,求證:當0≤x≤1時,|f′(x)|≤M.
分析:(1)利用導數(shù)公式求f′(
1
3
);
(2)由x=
1
3
為函數(shù)f(x)的一個極值點,得到f′(
1
3
)
=0,然后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)利用導數(shù)求最大值
解答:解:(1)f′(x)=3ax2-2(a+b)x+b,f′(
1
3
)=
b-a
3
…(2分)
(2)由f′(
1
3
)
=0,得a=b. …(3分)
故f(x)=ax3-2ax2+ax+c.
由f'(x)=a(3x2-4x+1)=0,得x1=
1
3
,x2=1.…(4分)
列表:
x (-∞,
1
3
1
3
1
3
,1)
1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
由表可得,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,
1
3
)及(1,+∞).…(6分)
(3)f'(x)=3ax2-2(a+b)x+b=3a(x-
a+b
3a
)2-
a2+b2-ab
3a

①當
a+b
3a
≥1,或
a+b
3a
≤0
時,則f'(x)在[0,1]上是單調(diào)函數(shù),
所以f'(1)≤f'(x)≤f'(0),或f'(0)≤f'(x)≤f'(1),且f'(0)+f'(1)=a>0.
所以|f'(x)|≤max{f'(0),f'(1)}.…(8分)
②當0<
a+b
3a
<1
,即-a<b<2a,則-
a2+b2-ab
3a
≤f'(x)≤max{f'(0),f'(1)}.
(i) 當-a<b≤
a
2
時,則0<a+b≤
3a
2

所以  f'(1)-
a2+b2-ab
3a
=
2a2-b2-2ab
3a
=
3a2-(a+b)2
3a
1
4
a2
>0.
所以|f'(x)|≤max{f'(0),f'(1)}. …(11分)
(ii) 當
a
2
<b<2a時,則(b-
a
2
)(b-2a)
<0,即a2+b2-
5
2
ab
<0.
所以b-
a2+b2-ab
3a
=
4ab-a2-b2
3a
5
2
ab-a2-b2
3a
>0,即f'(0)>
a2+b2-ab
3a

所以|f'(x)|≤max{f'(0),f'(1)}.
綜上所述:當0≤x≤1時,|f'(x)|≤max{f'(0),f'(1)}.…(14分)
點評:本題考查導數(shù)的基本運算以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題,通過表格可以比較直觀的體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與最值.
練習冊系列答案
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xx-1
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12
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是(  )
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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