Question

對(duì)于函數(shù)①f(x)=4x+

1

x

-5，②f(x)=|log2x|-(

1

2

)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判斷如下兩個(gè)命題的真假：
命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；
命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號(hào)是（　　）

• A、①
• B、②
• C、①③
• D、①②

Answer 1

分析：①函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)求出在（1，2）上是增函數(shù)，②函數(shù)是|log2^x|與-(

1

2

)x的和函數(shù)，且兩者在區(qū)間（1，2）上均是增函數(shù)，知f(x)=|log2x|-(

1

2

)x是增函數(shù)．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上無數(shù)個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：①f'（x）=4-

1

x2

，在區(qū)間（1，2）f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)．使甲為真．f（x）的最小值是-1＜0當(dāng)x=

1

2

時(shí)取得．又f（1）=0，∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁＜

1

2

；x₂=1．   x₁x₂=x₁＜1，使乙為真．
②在區(qū)間（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函數(shù)．-(

1

2

)x也是增函數(shù)，兩者的和函數(shù)也是增函數(shù)．使甲為真．利用信息技術(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂；0＜x₁＜

1

2

1＜x₂＜2．使乙為真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在區(qū)間（0，+∞）上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)．使乙為假．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：要掌握好基本初等函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，用二分法求零點(diǎn)的近似值．