Question

已知直線l₁為曲線y=x²+x-2在點(diǎn)（1，0）處的切線，l₂為該曲線的另一條切線，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直線l₂的方程；
（Ⅱ）求由直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（I）欲求直線l₂的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合l₁⊥l₂即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先通過解方程組得直線l₁和l₂的交點(diǎn)的坐標(biāo)和l₁、l₂與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形的面積公式教育處所求三角形的面積即可．

解答：解：（I）y′=2x+1．
直線l₁的方程為y=3x-3．
設(shè)直線l₂過曲線y=x²+x-2上的點(diǎn)B（b，b²+b-2），則l₂的方程為y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）
因?yàn)閘₁⊥l₂，則有k₂=2b+1=-

1

3

，b=-

2

3

．
所以直線l₂的方程為y=-

1

3

x-

22

9

．
（II）解方程組

y=3x-3 y=- 1 3 x- 22 9

得

x= 1 6 y=- 5 2 .

所以直線l₁和l₂的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(

1

6

，-

5

2

)．
l₁、l₂與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、(-

22

3

，0)．
所以所求三角形的面積S=

1

2

×

25

3

×|-

5

2

|=

125

12

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線垂直的性質(zhì)以及分析問題和綜合運(yùn)算能力．本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．