【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC內的一點.
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角頂點,求PA的長;
(2)若∠BPC=,設∠PCB=θ,求△PBC的面積S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.
【答案】(1) (2)S(θ)= ,S(θ)的最大值為
【解析】試題分析:(1)在△PAC中,已知兩邊一角求第三邊,根據(jù)余弦定理可得(2)先由正弦定理用θ表示PC,再根據(jù)三角形面積公式得S(θ),利用二倍角公式以及配角公式將S(θ)化為基本三角函數(shù)形式,再根據(jù)正弦函數(shù)性質求最大值
試題解析: 解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點,且BC=2,
∴∠PCB=,PC=,
又∵∠ACB=,∴∠ACP=,
在△PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,∴PA=.
解法二:依題意建立如圖直角坐標系,則有C(0,0),B(2,0),A(0,3),
∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB=,
∴∠ACP=,∠PBC=,
∴直線PC的方程為y=x,直線PB的方程為y=-x+2,
由得P(1,1),
∴PA==,
(2)在△PBC中,∠BPC=,∠PCB=θ,
∴∠PBC=-θ,
由正弦定理得==,
∴PB=sinθ,PC=sin,
∴△PBC的面積S(θ)=PB·PCsin
=sinsinθ
=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-
=sin-,θ∈,
∴當θ=時,△PBC面積的最大值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(16x+k)﹣2x (k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k;
(2)若不等式m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1, ]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ,且雙曲線C與斜率為2的直線l有一個公共點P(﹣2,0).
(1)求雙曲線C的方程及它的漸近線方程;
(2)求以直線l與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程.
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【題目】給出下列敘述: ①若α,β均為第一象限,且α>β,則sinα>sinβ
②函數(shù)f(x)=sin(2x﹣ )在區(qū)間[0, ]上是增函數(shù);
③函數(shù)f(x)=cos(2x+ )的一個對稱中心為(﹣ ,0)
④記min{a,b}= ,若函數(shù)f(x)=min{sinx,cosx},則f(x)的值域為[﹣1, ].
其是敘述正確的是(請?zhí)钌闲蛱枺?/span>
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【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的右焦點為F2(1,0),點H(2, )在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)點M在圓x2+y2=b2上,且M在第一象限,過M作圓x2+y2=b2的切線交橢圓于P,Q兩點,問:△PF2Q的周長是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,說明理由.
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【題目】下列函數(shù)f(x)中,滿足“對任意x1、x2∈(0,+∞),當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A.f(x)=(x﹣1)2
B.f(x)=ex
C.f(x)=
D.f(x)=ln(x+1)
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣cos2x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.
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