Question

如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=

π

2

，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求證：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求：幾何體EG-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，證明EC⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)證明EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，過(guò)G作GN⊥CE交BE于M，連DM，證明四邊形ADMG為平行四邊形，可得AG∥DM，即可證明AG∥平面BDE；
（Ⅲ）利用分割法即可求出幾何體EG-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，…（3分）
又CD?平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）
（Ⅱ）證明：在平面BCEG中，過(guò)G作GN⊥CE交BE于M，連DM，
則由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=

1

2

BC，
∴MG∥AD，MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，∴AG∥DM…（6分）
∵DM?平面BDE，AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）
（Ⅲ）解：VEG-ABCD=VD-BCEG+VG-ABD=

1

3

SBCEG•DC+

1

3

S△ABD•BG…（10分）
=

1

3

×

2+1

2

×2×2+

1

3

×

1

2

×1×2×1=

7

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直、線面平行，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用面面垂直、線面平行的判定定理是關(guān)鍵．