已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經過的定點F恰好是中心在原點的橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）點A的坐標為（-2，1），M為橢圓C上任意一點，求|MF|+|MA|的最大值；
（Ⅲ）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1．試證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，且滿足
c=3
a+c=8
a2=b2+c2
，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知推導出|MF|+|MF′|=2a=10，|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，由此能求出|MF|+|MA|的最大值．
（Ⅲ）由點P（m，n）在橢圓C上運動，知m2+n2＞
m2
25
+
n2
16
=1，由此能求出直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R），
∴（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
則由
x-2y-3=0
4x+3y-12=0
，解得
x=3
y=0
，
∴定點F（3，0）．
設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）
∵直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經過的定點F
恰好是中心在原點的橢圓C的一個焦點，
且橢圓C上的點到點F的最大距離為8，
∴
c=3
a+c=8
a2=b2+c2
，解得
a=5
b=4
c=3
，
∴橢圓C的標準方程為
x2
25
+
y2
16
=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的兩個焦點分別F（3，0），F(xiàn)′（-3，0），
則有|MF|+|MF′|=2a=10，
|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，
當M，A，F(xiàn)′三點不共線時，|MA|-|MF|＜|F′A|，
當M落在AF′的延長線上時，|MA|-|MF′|=|F′A|，
|F′A|=
(-2+3)2+(1-0)2
=
2
，
∴|MF|+|MA|的最大值為10+
2
．
（Ⅲ）∵點P（m，n）在橢圓C上運動，
∴m2+n2＞
m2
25
+
n2
16
=1，
∴圓O的圓心到直線l的距離d=
1
m2+n2
＜1=r，
∴直線l與圓O相交，
∵直線l被圓O截得的弦長為：
L=2
r2-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
25
9m2+400
，0≤m2≤25，
∴L∈[
15
2
，
4
6
5
]，
∴直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍[
15
2
，
4
6
5
]．
點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查兩線段和的最大值的求法，考查弦長的取值范圍的求法，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題的說法錯誤的是（　�。�
A、命題“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“x≠1，則x2-3x+2≠0”．
B、“x=1是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件．
C、對于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則￢p：?x0∈R，x02+x0+1≤0．
D、若p∧q為假命題，則p、q均為假命題．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且角A、B都是銳角，a=6，b=5，sinB=
1
2
．
（1）求sinA和cosC的值；
（2）設函數(shù)f（x）=sin（x+2A），求f（
π
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-1-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）試探究函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx在定義域內是否存在零點，若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的頂在坐標原點，焦點F（0，c）（c＞0）到直線y=2x的距離是
5
10
．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1（k≠0）與拋物線C交于A，B兩點，設線段AB的中垂線與y軸交于點P（0，b），求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，且|F1F2|=2
2
，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
（1）求橢圓方程；
（2）設橢圓與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，又點A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出S的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知a，b，m都是正數(shù)，且
a+m
b+m
＞
a
b
，則a＜b；
②若函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③已知x∈（0，π），則y=sinx+
2
sinx
的最小值為2
2
；
④已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則
a
x
+
c
y
的值等于2；
⑤已知函數(shù)f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍為（2-
2
，2+
2
）．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y滿足
x≥1
x+y≤4
ax+by+c≤0
，且2x+y的取值范圍是[1，7]，則
a+b+c
a
=（　�。�
A、1B、2C、-1D、-2

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