Question

已知多面體ABC-DEFG中（如圖），AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則這個多面體的體積為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：如圖，此多面體開關(guān)不規(guī)則，可以用分割法求體積，取DG中點(diǎn)M，連接CM，AM，F(xiàn)M，則這個多面體的體積可以表示為棱柱BEF-ADM與三棱錐C-FMG以及四棱錐C-ABFM的和

解答：解：取DG中點(diǎn)M，連接CM，AM，F(xiàn)M，則這個多面體的體積可以表示為棱柱BEF-ADM與三棱錐C-FMG以及四棱錐C-ABFM的和
由于多面體ABC-DEFG中（如圖），AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1
故棱柱BEF-ADM可看作是底面是直角三角形的三棱錐，其高2，底面是兩直角邊分別是1，2的三角形其體積是2×

1

2

×2×1=2
三棱錐C-FMG以CM為高，其長為2，底面是MF=2，MG=1為直角邊的直角三角形，其體積為

1

3

×2×

1

2

×2×1=

2

3

由圖形知，C到AM的距離就是四棱錐C-ABFM的高，由于AM=

5

，由等面積法可求得C到AM的距離是

2 5

5

，底面四邊形是以AM=

5

與AB=2為邊長的矩形，故其體積為

1

3

×

2 5

5

×2×

5

=

4

3

這個多面體的體積為

4

3

+

2

3

+2=4
故選B．

點(diǎn)評：本題考查組合幾何體的面積、體積問題，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的形狀對幾何體進(jìn)行分割，變成幾個規(guī)則的幾何體的體積的和，如本題轉(zhuǎn)化為求棱柱，兩個棱錐的體積的和．分割法是求不規(guī)則幾何體的體積與面積時常用的方法．其特點(diǎn)是把不規(guī)則幾何體的體積用幾個規(guī)則的幾何體的體積表示出來．