Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁

（1）證明：AB=AC
（2）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B₁C與平面BCD所成的角的大小

Answer 1

（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）證明AB=AC，往往轉(zhuǎn)化為證明對應(yīng)線段垂直，即證邊上中線垂直.取BC中點F，連接EF，AF，易得ADEF為平行四邊形，從而AF//DE. 又DE⊥平面，可得AF⊥BC.（2）求直線與平面所成角的關(guān)鍵在于找面的垂線.而面的垂線，往往從面面垂直的性質(zhì)定理中取到.觀察圖形可知，BC⊥平面DEF，從而平面BCD⊥平面DEF.過作兩平面的交線的垂線就是平面BCD的垂線.因為本題三維垂直關(guān)系已知，所以也可利用空間向量進行求解.已知條件的二面角與所求線面角有一個相同的平面，這也簡化了運算量.
試題解析：

解法一：（1）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。
連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。       5分
（2）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，∠AGC=600..
設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。       9分
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。
因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
連接AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角。.   
因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.        12分
解法二：

（1）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)—xyz。
設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。       5分
（2）設(shè)平面BCD的法向量則
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,則y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角為60°知，=60°，
故 °，求得           9分
于是  ， 
，
°
所以與平面所成的角為30°       12分