Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ） 當a=1時，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）當a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分x≤1，x＞1兩種情況討論去掉絕對值符號，然后解方程f（x）=x即可得到x的集合；
（Ⅱ）按a=0，a≠0兩種情況討論：a=0時易判斷函數(shù)奇偶性，當a≠0時，令x=±1可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性情況；
（Ⅲ）設此最小值為m，a＞2時求得f′（x）=3x（-x），按在區(qū)間[1，2]的右側(cè)、內(nèi)部兩種情況討論單調(diào)性，由單調(diào)性可得f（x）的最小值，當2＜a＜3時根據(jù)f（1）與f（2）的大小進行討論；
解答：解：（Ⅰ）由題意，當a=1時，f（x）=x²|x-1|，
當x≤1時，由f（x）=x²（1-x）=x，解得x=0；
當x＞1時，由f（x）=x²（x-1）=x，解得．
綜上，所求解集為．
（Ⅱ）可以對a進行如下分類討論：
（1）當a=0時，f（x）=x²|x|=f（-x），x∈R，顯然，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當a≠0時，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
顯然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（Ⅲ）設此最小值為m，當a＞2時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=ax²-x³，．
（1）若a≥3，在區(qū)間（1，2）內(nèi)f'（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，則．
當時，f'（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，a]上的增函數(shù)；
當時，f'（x）＜0，從而f（x）為區(qū)間[a，2]上的減函數(shù)．
因此，當2＜a＜3時，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
當時，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
當時，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
綜上所述，所求函數(shù)的最小值m=．
點評：本題考查函數(shù)的零點、函數(shù)的奇偶性、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)方程思想、分類討論思想，考查學生運用知識解決問題的能力．