Question

如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，側(cè)棱長為，
經(jīng)過對角線AB₁的平面交棱A₁C₁于點(diǎn)D．
（Ⅰ）試確定D點(diǎn)的位置使平面AB₁D∥BC₁，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角A₁-AB₁-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由圖形判斷知，D為A₁C₁中點(diǎn)時(shí)平面AB₁D∥BC₁，證明用線面平行的判定定理即可．
（II）在圖形中作出二面角的平面角，要充分利用已有的結(jié)論，作DM⊥A₁B₁于M，連接ME，證出角MED即平面角．
解答：解：（Ⅰ）D為棱A₁C₁中點(diǎn)時(shí)平面AB₁D∥BC₁，證明如下：
連接AB₁，與線AB₁交于點(diǎn)E，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁
∴E是中點(diǎn)，又D中點(diǎn)，
故DE是三角形A₁BC₁的中位線，故DE∥BC₁，
又BC₁不在平面AB₁D內(nèi)，DE在面AB₁D內(nèi)，
由線面平行的判定定理知平面AB₁D∥BC₁
（II）若D是中點(diǎn)，由題設(shè)條件AD=，B₁D=，
在等腰直角三角形B₁DA中，E是斜邊中點(diǎn)，故DE⊥AB₁，計(jì)算得AB₁=，故DE=
作DM⊥A₁B₁于M，連接ME，因?yàn)檎�三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以DM⊥面AA₁B₁B，即DM⊥AB₁，所以面DME⊥AB₁，
所以∠MED即二面角的平面角，由D是中點(diǎn)，所以DM=
在直角三角形DME中，sin∠MED===
所以∠MED=
點(diǎn)評：考查正三棱柱的幾何性質(zhì)、線面平行的判定定理、二面角的求法，技巧性強(qiáng)，對空間想象力要求較高．