Question

△ABC的三邊a、b、c和面積S滿足：S=a²-（b-c）²，且△ABC的外接圓的周長(zhǎng)為17π，則面積S的最大值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：把已知的等式左邊的S利用三角形的面積公式變形，右邊利用完全平方公式化簡(jiǎn)，同時(shí)利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，整理后代入到化簡(jiǎn)后的等式中，根據(jù)bc不為0，兩邊同時(shí)除以bc后變形，并利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出tan的值，進(jìn)而利用萬能公式求出sinA的值，由三角形的外接圓周長(zhǎng)求出外接圓直徑，利用正弦定理求出a的值，根據(jù)基本不等式得出bc取得最大值時(shí)b=c，代入S=a²-（b-c）²，得到S=a²，把a(bǔ)的值代入求出的值即為三角形面積的最大值．
解答：解：∵S=a²-（b-c）²，S=bcsinA，
且根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，
∴，
∴sinA=2-2cosA，
即====tan，
∴sinA==，
又△ABC的外接圓的周長(zhǎng)為17π，即外接圓直徑為17，
根據(jù)正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，
∵bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，即bc達(dá)到最大值，
則此時(shí)面積S的最大值為a²-（b-c）²=a²=64．
故答案為：64
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的面積公式，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及基本不等式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．