Question

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）用事件A_i表示第i局比賽甲獲勝，則A_i兩兩相互獨(dú)立，由此能求出甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率．
（Ⅱ）X的取值分別為2，3，4，5分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題共13分）
解：（Ⅰ）用事件A_i表示第i局比賽甲獲勝，
則A_i兩兩相互獨(dú)立．…（1分）
P=P(A1A2+

.

A1

A2A3)
=P(A1)P(A2)+P(

.

A1

)P(A2)P(A3)=

2

3

•

2

3

+

1

3

•

2

3

•

2

3

=

16

27

．…（4分）
（Ⅱ）X的取值分別為2，3，4，5，…（5分）
P（x=2）=

2

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

=

5

9

，
P（x=3）=

1

3

•

2

3

•

2

3

+

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

9

，
P（x=4）=

2

3

•

1

3

•

2

3

•

2

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

10

81

，
P（x=5）=

2

3

•

1

3

•

2

3

•

1

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

2

3

=

8

81

，…（9分）
所以X的分布列為

X	2	3	4	5
P	5 9	2 9	10 81	8 81

…（11分）
EX=2×

5

9

+3×

2

9

+4×

10

81

+5×

8

81

=

224

81

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．