已知f(x)=e x+
1e x

（1）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
（2）求函數(shù)f（x）在R上的最值．
分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再證得f′（x）≥0，從而證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上的最值，要先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0解出極值點，即可求出函數(shù)f（x）在R上的最值．
解答：解：（1）f(x)=e x+
1
e x

∴f′(x)=e x-
1
e x
，
當(dāng)x≥0時，ex＞1，∴0＜
1
ex
≤1，
∴f′(x)=e x-
1
e x
≥0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1）得f′(x)=e x-
1
e x
，令f′(x)=e x-
1
e x
=0，得x=0，
且當(dāng)x＜0時，f′(x)=e x-
1
e x
＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)；
由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值2，無最大值．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，g(x)=
lnx
x
，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時，f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f(x)＞g(x)+
1
2
；
（3）若f（x）的最小值是3，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+3x+1，
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，求證：x≤eg（x）-2在x∈[
1
2
，
5
2
]成立
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當(dāng)n＞2，n∈N*時，log2e+log3e+log4e…+logne＞
3n2-n-2
2n(n+1)
（e為自然對數(shù)lnx的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京市石景山區(qū)2012屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知f(x)＝ax－lnx，a∈R．

(Ⅰ)當(dāng)a＝2時，求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若f(x)在x＝1處有極值，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅲ)是否存在實數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知f(x)=e x+
1
e x

（1）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
（2）求函數(shù)f（x）在R上的最值．

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