Question

數(shù)列{a_n}，前n項和S_n，滿足a1=

1

2

，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{nS_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知Sn+2an+1=1(n∈N*)可得，S_n-1+2a_n=1（n≥2）兩式相減可得，2a_n+1與a_n的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由（1）及已知可求nS_n，然后利用分組求和及錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴S_n-1+2a_n=1（n≥2）
兩式相減可得，S_n-S_n-1+2a_n+1-2a_n=0
即2a_n+1=a_n
∴

an+1

an

=

1

2

∵a1=

1

2

∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(

1

2

)n+1=1
∴Sn=1-(

1

2

)n
∴nS_n=n-n•(

1

2

)n
令Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
則

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
兩式相減可得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

∴Tn=1-1•

1

2

+2-2•(

1

2

)2+…+n-n•(

1

2

)n
=(1+2+3+…+n)-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n]
=

n(n+1)

2

-2+

2+n

2n

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列通項公式求解中的應(yīng)用及數(shù)列求和的錯位相減求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．