Question

已知橢圓的離心率，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足         （1）求橢圓C的方程；

    （2）是否存在直線，當(dāng)直線交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為的垂心（三角形三條高的交點）？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時，△不存在，故舍去．

當(dāng)時，所求直線存在，且直線的方程為．

【解析】第一問中利用根據(jù)題意得，，，，

，，

，又，

第二問中，假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，

設(shè)，

因為，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線的方程為，

由得，結(jié)合韋達定理并由題意應(yīng)有，又，得到結(jié)論。

 

解：根據(jù)題意得，，，，

，，

，又，

故橢圓方程為．    　　　　                …………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，

設(shè)，

因為，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線的方程為，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由題意應(yīng)有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………11分

經(jīng)檢驗，當(dāng)時，△不存在，故舍去．

當(dāng)時，所求直線存在，且直線的方程為．

                                                     …………12分